Хотите развивать мозг? Рассказываем, как изобрести свою математику
Для тех, кто хочет заняться способностями своего мозга, но не любит математику, издательство МИФ опубликовало книгу «Математика в огне» Джейсона Уилкса. Автор предлагает не зубрить теорию, а изобретать для себя математику заново.
С разрешения МИФа «Канобу» публикует отрывок книги.
Как делать все неправильно: наставление о глупости запоминания
Но прошло несколько лет, прежде чем я понял, что преподавание науки — действительно труд. Целью должно быть не внедрение в голову ученика фактов, которые знает учитель; нужно внедрить образ мышления, который позволит в будущем освоить за один год то, что учитель изучал два года. Только так мы можем двигаться от одного поколения к следующему. И когда я осознал это, мой стиль преподавания изменился: не давать по вершкам кучки фрагментов, а анализировать всего несколько проблем, зато с настоящей глубиной.
Эдвин Джейнс, «Взгляд назад в будущее»
Одна из худших черт многих начальных курсов математики (как минимум тех, что были у меня) в том, что преподаватели как-то становятся убежденными сторонниками мнения, будто цель курса — сообщать вам факты. Я больше не могу с этим соглашаться. Вы удивитесь: о чем же может быть курс, по моему мнению, если не о математике?
Декларация независимости
Цель курса математики — создать не учащихся, которые знают факты, а учащихся, которые умеют думать
Математика — целый мир, в котором нет ничего случайного и где разум может обучать себя так интенсивно и четко, как не выйдет с другой дисциплиной. Более того, по ходу обучения разума вы попутно изучите предмет, который — так уж сложилось — описывает все в мире. Это невероятно полезно, но такая практичность — побочный эффект тренировки ума. Если уж говорить о том, что полезно и стоит занести в рамочку, вот еще кое-что, чего вам никогда не расскажут.
Математика — НЕ ТО, что рассказывает
о линиях, плоскостях, функциях, окружностях и любых других вещах, которые вы изучали в курсе математики.
Математика — ТО, что рассказывает
о предложениях вроде такого: «Если это верно, то и это верно»
Как только мы поймем это, мы сразу заметим два обстоятельства. Вопервых, очевидно, почему тренировать разум таким образом полезно, независимо от того, что вы делаете. Во-вторых, очевидно, что курсы математики сфокусированы в точности на неправильных вещах. Изучим конкретный пример. В курсах алгебры заполнившим класс сонным ученикам рассказывают о чем-то, именуемом методом FOIL. Это расшифровывается как First, Outer, Inner, Last — «первые, внешние, внутренние, последние». Это правило для запоминания предложений вроде:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
или, в более общем виде,
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd.
Мы уже видим, что FOIL — способ помочь вам запомнить факт о математике, а не открывать его заново всякий раз, когда он вам понадобится. В чем тут суть? Большинство учащихся могут увидеть ее лучше, чем учителя: ее тут нет. Изобретем оба факта так, чтобы нам никогда не понадобилось запоминать их снова.
Если мы возьмем лист бумаги и нарисуем на нем картинку, она не изменит площади листа. Не важно, что мы изобразим: домик, дракона или что-то еще. Предположим, мы экспериментируем с идеями, которые нашли, и наткнемся на то, что выглядит как (a + b)^2. Мы можем подумать об этом как о площади квадрата. Какого квадрата? Если квадрат имеет длину стороны тили-тили, его площадь равна (тили-тили) (тили-тили), или (тили-тили)^2. Поэтому мы можем думать о (a + b)^2 как как о площади квадрата со стороной (a + b).
Два любых перемноженных числа, то есть в общем виде (тили-тили) ⋅ (трали-вали), можно представлять как площадь прямоугольника со сторонами длиной тили-тили и трали-вали. Нарисуем картинку, где (тили-тили) — это (a + b), а (трали-вали) — это (c + d). Теперь вам не нужно вспоминать эту формулу. Если вы забудете ее, то сможете изобрести заново. Не надо даже пытаться запоминать эти формулы. Лучше даже попытаться немедленно забыть их! В каждом математическом кабинете над доской должна быть вывешена надпись:
Первая заповедь преподавания математики
Учитель должен побуждать учеников не запоминать, а забывать.
Поскольку ваша цель — идти по пути рассуждений самостоятельно, не следует запоминать шаги в этом выводе, лучше хорошо понять его суть, чтобы в случае забывания любой формулы (что и следует сделать) вы могли тут же изобрести ее заново за несколько секунд. Когда вы делаете это, вы обнаруживаете, что «запоминаете» вещи нечаянно, просто потому, что хорошо их понимаете. Проверить, успешен ли был для вас этот дзен-процесс «изучения без запоминания», можно так: способны ли вы применить этот ход рассуждений к чему-то новому?
Логика такова: если вы можете применить то же рассуждение в новых областях, которые никогда не видели, вы не станете просто запоминать факты. Новый контекст действует как сито, которое отсеивает такую возможность. К несчастью, в среде, которая наказывает эксперименты и неудачи (например, в школе), проверка вещей в новых контекстах становится чаще источником беспокойства, а не интеллектуальной радующей игрой, какой должна быть. Давайте забудем все это и просто поиграем.